Εργαστηριακή άσκηση 6. (Παράδοση στο elearn) Παραδίδουμε τις παρακάτω ασκήσεις.
Άσκηση. (Εξισώσεις κίνησης για δίνες) (α) Θεωρήστε δύο δίνες γ1, γ2 οι οποίες αλληλεπιδρούν. Δείξτε ότι οι εξισώσεις κίνησης (τις οποίες έχουμε δει στο μάθημα) εξάγονται από την Λαγκρανζιανή \[ L = \frac{\gamma_1}{2}\, (y_1 \dot{x}_1 - x_1 \dot{y}_1) + \frac{\gamma_2}{2}\, (y_2 \dot{x}_2 - x_2 \dot{y}_2) - V \] όπου $\boldsymbol{r}_1=(x_1,y_1),\;\boldsymbol{r}_2=(x_2,y_2)$ είναι οι θέσεις τους και το δυναμικό αλληλεπίδρασης είναι \[ V = -\gamma_1 \gamma_2\,\ln|\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1|. \] (β) Γράψτε τη (γενική) Λαγκρανζιανή για μία δίνη σε εξωτερικό πεδίο το οποίο δίνεται από δυναμικό V(x,y).
(a) Χρησιμοποιούμε τον τύπο \[ |\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1|^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2. \] Οι εξισώσεις Euler-Lagrange δίνουν τις εξισώσεις για την κίνηση δινών που έχουμε δει στο μάθημα. Ένας σημαντικός υπολογισμός που χρησιμοποιούμε είναι \[ \frac{\partial V}{\partial x_1} = -\gamma_1\gamma_2 \frac{x_1-x_2}{|\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1|}. \]
(β) Αν η δίνη έχει ισχύ γ, είναι \[ L = \frac{\gamma}{2}\, (y \dot{x} - x \dot{y}) - V(x,y). \]
Άσκηση. (Δύναμη τριβής σε εκκρεμές) Έστω ένα σωμάτιο μάζας m το οποίο βρίσκεται στο πεδίο βαρύτητας της Γης και εξαρτάται από ράβδο μήκους ℓ η οποία είναι προσαρμοσμένη σε σταθερό σημείο στο άκρο της. Στο σωμάτιο ασκείται μία επιπλέον δύναμη τριβής $\boldsymbol{f} = -\lambda\,\boldsymbol{\upsilon}$, όπου λ είναι μία θετική σταθερά και $\boldsymbol{\upsilon}$ είναι η ταχύτητά του. (α) Βρείτε γενικευμένες συντεταγμένες οι οποίες περιγράφουν το σύστημα και γράψτε την κινητική και την δυναμική ενέργεια. (β) Εξάγετε τις εξισώσεις κίνησης. (γ) Βρείτε μία εξίσωση για την χρονική εξέλιξη της ενέργειας του εκκρεμούς.
Λύση της άσκησης.Άσκηση. (Δύναμη η οποία εξαρτάται από την ταχύτητα) Έστω ένα σωμάτιο μάζας m το οποίο βρίσκεται σε δυναμικό $V(x,y)$ (το σύστημα κινείται στο επίπεδο xy). Στο σωμάτιο ασκείται μία επιπλέον δύναμη τριβής $\boldsymbol{f} = -b\,\boldsymbol{\upsilon}^3$, όπου b είναι μία θετική σταθερά και $\boldsymbol{\upsilon}$ είναι η ταχύτητά του. (α) Γράψτε την Λαγκρανζιανή και τις εξισώσεις Euler-Lagrange μαζί με την δύναμη τριβής. (β) Βρείτε την συνάρτηση Rayleigh και δείξτε ότι δίνει την δύναμη τριβής. (γ) Βρείτε μία εξίσωση για την χρονική εξέλιξη της ενέργειας.
Άσκηση. (Κίνηση με τριβή σε σφαίρα) Έστω σώμα μάζας m το οποίο κινείται σε σφαιρική επιφάνεια ακτίνας R. (α) Θεωρήστε ότι στο σώμα δεν ασκούνται δυνάμεις, βρείτε κατάλληλες γενικευμένες συντεταγμένες και (i) γράψτε την Λαγκρανζιανή, (ii) γράψτε τις εξισώσεις κίνησης, (iii) βρείτε μία διατηρήσιμη ποσότητα της κίνησης. (β) Θεωρήστε τώρα ότι το ίδιο σώμα δέχεται μία δύναμη τριβής $\boldsymbol{f} = -\lambda\,\boldsymbol{\upsilon}$, όπου λ είναι μία θετική σταθερά και $\boldsymbol{\upsilon}$ είναι η ταχύτητά του. Γράψτε τις εξισώσεις κίνησής του.
Υποδείξεις: Έστω (x,y,z) οι καρτεσιανές συντεταγμένες του σώματος και ας ορίσουμε σφαιρικές συντεταγμένες (R,θ,φ) από τις σχέσεις \[ x=R\sin\theta\cos\phi,\quad y=R\sin\theta\sin\phi,\quad z=R\cos\theta. \] Η θέση του σώματος είναι $\boldsymbol{r}=R\boldsymbol{\hat{e}_r}$. Μπορεί να σας βοηθήσουν οι σχέσεις \[ \frac{\partial \boldsymbol{\hat{e}_r}}{\partial \theta} = \boldsymbol{\hat{e}_\theta},\qquad \frac{\partial \boldsymbol{\hat{e}_r}}{\partial \phi} = \sin\theta\,\boldsymbol{\hat{e}_\phi}. \] Λύση της άσκησης.Άσκηση. (Σώμα εξαρτώμενο από ελαστική ράβδο) Έστω σώμα μάζας m το οποίο βρίσκεται στο πεδίο βαρύτητας της Γης και εξαρτάται από ελαστική αβαρή ράβδο η οποία είναι προσαρμοσμένη σε σταθερό σημείο στο άκρο της. Η ράβδος έχει φυσικό μήκος ℓ αλλά το μήκος της μπορεί να μεταβάλλεται όπως ένα ελατήριο σταθεράς k. (α) Βρείτε γενικευμένες συντεταγμένες οι οποίες περιγράφουν το σύστημα. (β) Γράψτε την κινητική και την δυναμική ενέργεια. (γ) Εξάγετε τις εξισώσεις κίνησης. [Υπόδειξη: Θεωρήστε ότι η κίνηση γίνεται σε ένα επίπεδο. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε καρτεσιανές συντεταγμένες.]