Οδηγίες.
Βιβλίο Nagle, Saff, Snider, "Differential Equations/ Διαφορικές εξισώσεις". Επιλέξτε μία εργασία από το βιβλίο (περιγράφονται εργασίες στο τέλος κάθε κεφαλαίου). Για παράδειγμα. Κεφ. 1, εργασία Γ. Κεφ. 2, εργασία Β. Κεφ. 3, εργασία Α, εργασία Β, εργασία Ε. Κεφ. 5, εργασία Β, εργασία Δ, εργασία ΣΤ, εργασία Ζ. Κεφ. 7, εργασία Β. Κεφ. 10, εργασία Ε.
Σύγγραμμα, Σ. Κομηνέας, Ε. Χαρμανδάρης, "Μαθηματική Μοντελοποίηση". Επιλέξτε μία εργασία από αυτές που δίνονται στο τέλος κάθε κεφαλαίου στο σύγγραμμα.
Πληθυσμιακά μοντέλα στην Βιολογία.
Μελετήστε κάποιο μοντέλο παρόμοιο με το παραπάνω "Μοντέλο ανταγωνισμού δύο ειδών".
Μπορείτε να συμβουλευθείτε οποιοδήποτε σχετικό βιβλίο.
Για παράδειγμα, μελετήστε μοντέλα ανταγωνισμού ή επιδημιών σύμφωνα με το βιβλίο M.W. Hirsch, S. Smale, R.L. Devaney, "Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos" Κεφ. 11.
SIR model. Study an improvement of the SIR model according to the paper by T. Dbouk, D. Drikakis, Fluid dynamics and epidemiology: Seasonality and transmission dynamics.
Hodgkin–Huxley model.
Μελετήστε το μοντέλο Hodgkin–Huxley για την λειτουργία νευρώνων. Ενδεικτικά, κάνετε τα ακόλουθα.
(α) Εισαγάγετε το μοντέλο και εξηγήστε τις μεταβλητές, παραμέτρους και διαδικασίες που περιγράφει.
(β) Κάνετε μελέτη των εξισώσεων.
(γ) Δώστε λύσεις (αριθμητικά ή αναλυτικά) και μία γενική μελέτη τους.
(δ) Εξηγήστε την σημασία των λύσεων (ή κάποιων λύσεων) για το σύστημα που μοντελοποιείται.
Πηγές. MIT OpenCourseWare. (Μπορείτε να βρείτε και κάτι απλούστερο.)
Μοντέλο χημικής αντίδρασης: Oregonator.
Μελετήστε το μοντέλο χημικής αντίδρασης με το όνομα Oregonator.
(α) Εξηγήστε τι πρόβλημα μοντελοποιείται.
(β) Γράψτε τις εξισώσεις.
(γ) Δώστε τις εξισώσεις σε αδιάστατη μορφή.
(δ) Βρείτε αριθμητικά λύσεις των εξισώσεων και κάνετε διάγραμμα φάσεων.
(ε) Εξηγήστε τι σημαίνουν οι λύσεις για την χημική αντίδραση (δώστε παράδειγμα με συγκεκριμένα νούμερα).
Πηγές.
Μπορείτε να δείτε μία πλήρη εργασία για το Oregonator με χρήση GUI στο matlab
εδώ.
Μοντέλο χημικής αντίδρασης: Brusselator.
Δείτε ερωτήματα ανάλογα με αυτά στην άσκηση για τον Oregonator.
Πηγές. (a) Jordan & Smith, άσκηση 2.46.
(b) εδώ
Μοντέλο Εθνικής Οικονομίας.
Έστω I: το εθνικό εισόδημα, C: ο ρυθμός κατανάλωσης, G: ο ρυθμός κρατικών εξόδων,
τότε ένα μοντέλο για την εθνική οικονομία δίνεται από το σύστημα εξισώσεων
\[
\frac{dI}{dt} = I - a C,\qquad
\frac{dC}{dt} = b (I-C-G)
\]
όπου a>1, b ≥ 1 είναι παράμετροι.
(α) Εξηγήστε τι περιγράφουν οι όροι που εμφανίζονται στις εξισώσεις.
(β) Δείξτε ότι αν G=G0 είναι σταθερά τότε υπάρχει κατάσταση ισορροπίας.
Χαρακτηρίστε την κατάσταση αυτή.
(γ) Έστω G=G0 + k I, όπου k>0.
Βρείτε τα σημεία ισορροπίας και μελετήστε τα.
(δ) Σχεδιάστε το διάγραμμα φάσεων για μία περίπτωση.
(ε) Έστω G=G0 + k I2, όπου k>0.
Βρείτε τα σημεία ισορροπίας και μελετήστε τα.
(ζ) Εξηγήστε πότε είναι και πότε δεν είναι τα αποτελέσματα ρεαλιστικά από την άποψη μίας πραγματικής οικονομίας.
(η) Προτείνετε διορθώσεις του μοντέλου για να γίνουν πιο ρεαλιστικές κάποιες προβλέψεις.
(θ) Συγκρίνετε το παραπάνω μοντέλο με άλλα που θα βρείτε στη βιβλιογραφία.
Πηγές. Jordan & Smith, άσκηση 2.24.
[Παρατήρηση. Πρέπει να γίνει αρχικά η συνηθισμένη μελέτη του γραμμικού συστήματος, αλλά αυτό δεν είναι επαρκές.
Η μελέτη για το πόσο ρεαλιστικό είναι το μοντέλο είναι σημαντική.]
Keynesian model (Οικονομικό). Δείτε στο βιβλίο Pierre N.V. Tu, "Dynamical Systems, An Introduction with Applications in Economics and Biology", σελ. 1-20.
IS-LM model (Οικονομικό). Δείτε στο βιβλίο Pierre N.V. Tu, "Dynamical Systems, An Introduction with Applications in Economics and Biology", Κεφ. 2.5.
Κίνηση φορτίου σε ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο κάθετα μεταξύ τους. Έστω ένα φορτισμένο σωμάτιο μάζας m και φορτίου q το οποίο βρίσκεται μέσα σε σταθερά και ομογενή ηλεκτρικό $\boldsymbol{E}=(E_x,E_y,0)$ και μαγνητικό πεδίο $\boldsymbol{B}=(0,0,B)$. Γράψτε την Λαγκρανζιανή για το σωμάτιο. Γράψτε τις εξισώσεις κίνησής του και κάνετε μία σύντομη αναλυτική μελέτη. Κατασκευάστε αριθμητικό κώδικα στον οποίο θα δίνονται οι αρχικές συνθήκες και θα παράγεται η τροχιά του σωματίου. Σχεδιάστε (α) την τροχιά του σωματίου και (β) την τροχιά του οδηγού κίνησης. (γ) Βρείτε μια ειδική λύση (για κατάλληλες αρχικές συνθήκες) η οποία περιγράφει ευθύγραμμη και ομαλή κίνηση του σωματίου. [Υπόδειξη: Θεωρήστε ότι τα πεδία είναι κάθετα μεταξύ τους. Θεωρήστε την περίπτωση στην οποία το σωμάτιο παραμένει, κατά την κίνηση, στο επίπεδο το κάθετο στο μαγνητικό πεδίο.]
Κίνηση φορτίου με τριβή σε ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο κάθετα μεταξύ τους. Έστω ένα φορτισμένο σωμάτιο μάζας m και φορτίου q το οποίο βρίσκεται μέσα σε κάθετα μεταξύ τους ηλεκτρικό $\boldsymbol{E}$ και μαγνητικό πεδίο $\boldsymbol{B}$ τα οποία είναι σταθερά και ομογενή, δηλαδή, είναι $\boldsymbol{E}=(E,0,0),\; \boldsymbol{B}=(0,0,B)$, όπου $E, B$ είναι σταθερές. Το σωμάτιο θα κινηθεί στο επίπεδο xy. Γράψτε την Λαγκρανζιανή για το σωμάτιο και τις εξισώσεις κίνησής του. Θεωρήστε μία δύναμη τριβής με μέτρο ανάλογο της ταχύτητας του φορτίου. Κάνετε μία σύντομη αναλυτική μελέτη και μία πιο εκτεταμένη αριθμητική μελέτη της τροχιάς του φορτίου. (α) Βρείτε αριθμητικά και σχεδιάστε την τροχιά του σωματίου για κάποιες συγκεκριμένες αρχικές συνθήκες της επιλογής σας. (β) Μελετήστε ειδικές λύσεις των εξισώσεων.
Ζεύγος φορτίων σε μαγνητικό πεδίο. Θεωρήστε δύο σωμάτια μάζας $m$ με φορτία $q_1, q_2$, τα οποία βρίσκονται σε ομογενές μαγνητικό πεδίο $\boldsymbol{B}=(0,0,B)$. Αν οι θέσεις τους είναι $\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2$, η δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης μεταξύ τους είναι \[ V=-q_1 q_2\,\ln|\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1|. \] (α) Γράψτε τις εξισώσεις κίνησης. (β) Γράψτε κώδικα ο οποίος να επιλύει το πρόβλημα αρχικών τιμών για το σύστημα των εξισώσεων. (γ) Σχεδιάστε τις τροχιές του συστήματος αφού επιλέξετε τιμές για τα $q_1, q_2$ και αρχικές συνθήκες. (δ) Σχεδιάστε τις συντεταγμένες κάθε φορτίου με τον χρόνο. (ε) Ελέγξτε ότι στον αριθμητικό σας υπολογισμό οι ποσότητες οι οποίες είναι θεωρητικά διατηρήσιμες, πραγματικά διατηρούνται.
Κίνηση δίνης με τριβή. (α) Γράψτε την (γενική) Λαγκρανζιανή για μία δίνη σε εξωτερικό πεδίο το οποίο δίνεται από δυναμικό. (β) Θεωρήστε δυναμικό το οποίο να δίνει μία σταθερή δύναμη και γράψτε την (ειδικότερη) Λαγκρανζιανή. Βρείτε την τροχιά της δίνης. (γ) Ακολούθως, θεωρήστε δύναμη τριβής ανάλογη της ταχύτητας και γράψτε τις εξισώσεις κίνησης. (δ) Δώστε λύσεις των εξισώσεων κίνησης και βρείτε την τροχιά της δίνης (δηλαδή, y = y(x)).
Τρεις δίνες.
Θεωρήστε ένα σύστημα τριών δινών $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$.
(α) Γράψτε την Λαγκρανζιανή και τις εξισώσεις κίνησης.
(β) Βρείτε και γράψτε τις διατηρήσιμες ποσότητες.
(γ) Λύστε αριθμητικά το σύστημα των εξισώσεων για τρεις δίνες.
Τέλος, μελετήστε μία ειδική περίπτωση, όπως οι παρακάτω:
(i) Έστω τρεις δίνες με $\gamma_1=\gamma_2=\gamma_3$.
Βρείτε την ειδική λύση για την οποία αυτές βρίσκονται στις κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. Εξάγετε τις εξισώσεις για τις πλευρές του τριγώνου.
(ii) Έστω ότι δύο δίνες για τις οποίες $\gamma_1=-\gamma_2$ βρίσκονται αρχικά κοντά μεταξύ τους ενώ η τρίτη δίνη $\gamma_3=\gamma_1$ βρίσκεται σε μία απόσταση από το ζεύγος.
Πηγές.
(α) Σύγγραμμα, Σ. Κομηνέας, Ε. Χαρμανδάρης, "Μαθηματική Μοντελοποίηση"
(β) Δείτε το σχετικό Wolfram Demonstration.
Δυναμική δινών για reservoir computing.
Γράψτε τις εξισώσεις για δυναμική Ν δινών (Πηγή (α)).
Προσθέστε ένα δυναμικό στον χώρο (δηλαδή, μία δύναμη στις εξισώσεις κίνησης) και έναν όρο απόσβεσης (τριβής) στις εξισώσεις.
Προσομοιώστε αριθμητικά την κίνηση των δινών.
Γράψτε για τις αρχές για neuromorphic computing (δείτε στο (β) κεφ. ΙΙ).
Προσομοιώστε την κίνηση δινών και ερμηνεύστε την ως αναγνώριση προτύπου (δείτε στο (β) κεφ. ΙΙΙ).
Ειδικότερα, αρκεί να περιγράψετε πώς υπολοιείται με δίνες μία από τις αρχές του neuromorphic computing (π.χ., διαταράξτε το σύστημα και βρείτε αριθμητικά πόσο χρόνο κάνει για να επιστρέψει στην κατάσταση ισορροπίας - πράγμα που ερμηνεύεται ως χρόνος μνήμης του συστήματος).
Πηγές.
(α) Σύγγραμμα, Σ. Κομηνέας, Ε. Χαρμανδάρης, "Μαθηματική Μοντελοποίηση"
(β) Reservoir Computing with Random Skyrmion Textures.
Van der Pol oscillator.
Δείτε το σύστημα van der Pol, π.χ., στο βιβλίο M.W. Hirsch, S. Smale, R.L. Devaney, "Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos" Κεφ. 12.
(α) Εξηγήστε πώς προκύπτει το μοντέλο.
(β) Περιγράψτε τα βασικά του χαρακτηριστικά (σημεία ισορροπίας, ευστάθεια κλπ).
(γ) Δώστε αριθμητικές λύσεις και περιγράψτε τες (κάνετε μία σύνδεση με τις συνηθισμένες γνωστές λύσεις στα δυναμικά συστήματα).
(δ) Εξηγήστε την σχέση των λύσεων με την θεωρία χάους.
(ε) Περιγράψτε πώς ερμηνεύνται οι προβλέψεις του μοντέλου στο πλαίσιο του φυσικού συστήματος το οποίο περιγράφεται.
[Παρατήρηση. Αυτό το μοντέλο έπαιξε σημαντικό ρόλο στην αρχή της θεωρίας του χάους.]
Unconventional computing (Ising machines).
Προτείνεται η χρήση φυσικών συστημάτων των οποίων η δυναμική οδηγεί στην λύση προβλημάτων
για τα οποία οι συνήθεις αλγόριθμοι λύσης είναι πολύ χρονοβόροι ή πολύπλοκοι.
Τέτοια είναι, π.χ., τα λεγόμενα combinatorial optimization problems.
Θα θέλαμε να μελετήσουμε τέτοια φυσικά συστήματα, τα μοντέλα που τα περιγράφουν και ορισμένες λύσεις τους.
(α) Περιγράψτε το μοντέλο Ising.
(β) Περιγραψτε 1-2 combinatorial optimisation problems (π.χ., MaxCat).
(γ) Περιγράψτε πώς ένα (συγκεκριμένο) combinatorial optimisation problem αντιστοιχεί στο μοντέλο Ising.
(δ) Επιλύστε σε υπολογιστή (π.χ., με simulated annealing) μια Χαμιλτονιανή Ising (δηλαδή, βρείτε κατάστασης χαμηλότερης ενέργειας).
Πηγές.
Π.χ., Theory of Ising Machines and a Common Software Platform for Ising Machines.
Solar energy transition. Στο άρθρο The momentum of the solar energy transition, χρησιμοποιείται ένα μοντέλο Lotka-Volterra για να περιγραφεί η μετάβαση σε "zero carbon power sources". (α) Περιγράψτε αναλυτικά το μοντέλο το οποίο χρησιμοποιείται σε αυτό το άρθρο. (β) Εντοπίστε μερικές από τις πηγές από τις οποίες έχουν αντληθεί δεδομένα για να χρησιμοποιηθούν στο μοντέλο. (γ) Κάνετε προσομοίωση του μοντέλου για μία περίπτωση που θα διαλέξετε.
Demonstrations. Χρησιμοποιήστε ένα διαδικτυακό εργαλείο και περιγράψτε ένα πρόβλημα μοντελοποίησης. Για παράδειγμα, δείτε το Wolfram Demonstrations.
