Το τέταρτο φυλλάδιο ασκήσεων. Ημερομηνία παράδοσης, 7 Ιανουαρίου 2021, 13:00.
Διδάσκων: Μιχάλης Πλεξουσάκης. Γραφείο: B-309,
Τηλ: 281.039.3709, e-mail: plex@uoc.gr
Ώρες γραφείου: Δευτέρα 11-1, Παρασκευή 11-1 ή με rendez-vous.
Ώρες διαλέξεων: Τρίτη 1-3, Πέμπτη 1-3, Α208.
Διδακτικό υλικό
Για τις ανάγκες του μαθήματος θα χρησιμοποιηθούν σημειώσεις του διδάσκοντα. Άλλες χρήσιμες βιβλιογραφικές αναφορές αποτελούν:
- Γ. Δ. Ακρίβης και Β. Α. Δουγαλής, Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση, 5η έκδοση, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2004.
- K. Atkinson and W. Han, Elementary Numerical Analysis. 3rd ed., Wiley, 2004.
- R. Burden, J. Faires, Numerical Analysis. 9th ed., Cengage Learning, 2010.
- W. Cheney and D. Kincaid, Numerical mathematics and computing. 3rd ed., Brooks/Cole Publishing, Pacific Grove, California, 1994.
- W. Gautschi, Numerical Analysis: An introduction. Birkhäuser, Boston, Mass., 1997.
- G. W. Stewart, Afternotes on Numerical Analysis. SIAM, Philadelphia, 1996.
- E. Süli and D. Mayers, An introduction to Numerical Analysis. Cambridge University Press, Cambridge, 2003.
Το μάθημα φιλοδοξεί να καλύψει τα ακόλουθα θέματα: Αριθμητική Γραμμική Άλγεβρα. Μη γραμμικές εξισώσεις. Επαναληπτικές μέθοδοι. Παρεμβολή. Αριθμητική Ολοκλήρωση.
Αξιολόγηση
Ο βαθμός του μαθήματος θα υπολογισθεί από τον μέσο όρο των ασκήσεων, που θα διανέμονται σε εβδομαδιαία βάση, και τον βαθμό του τελικού διαγωνίσματος.
Ανακοινώσεις
Το τρίτο φυλλάδιο ασκήσεων. Ημερομηνία παράδοσης, 17 Δεκεμβρίου, 13:00.
Το δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων. Ημερομηνία παράδοσης, 12 Νοεμβρίου, 13:00.
Το πρώτο φυλλάδιο ασκήσεων. Ημερομηνία παράδοσης, 15 Οκτωβρίου, 13:00.
H πρώτη διάλεξη του μαθήματος θα γίνει μέσω της πλατφόρμας Zoom, στο meeting room https://zoom.us/j/6915487977/
Ημερολόγιο μαθήματος
Πολυβηματικές μέθοδοι. Συνέπεια και ευστάθεια.
Τα θεωρήματα Butcher-Crouzeix (συνέχεια).
Σύγλιση των μεθόδων Runge-Kutta. Τα θεωρήματα Butcher-Crouzeix.
Μέθοδοι Runge-Kutta (συνέχεια). Ϋπαρξη ενδιάμεσων σταδίων. Η έννοια της ευστάθειας.
Εισαγωγή στις μεθόδους Runge-Kutta.
Σύγλιση της μεθόδου του Euler και της μεθόδου του μέσου. Η μέθοδος του τραπεζίου.
Παρεμβολή και αριθμητική ολοκλήρωση. Μια σύντομη περίληψη. Μονοβηματικές μέθοδοι. Το τοπικό σφάλμα διακριτοποίησης. Τάξη ακρίβειας. Σύγκλιση.
Μονοβηματικές μέθοδοι. Το τοπικό σφάλμα διακριτοποίησης. Τάξη ακρίβειας. Σύγκλιση.
Αριθμητική λύση συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Το θεώρημα Picard-Lindelöf. Η μέθοδος του Euler. Μονοβηματικές μέθοδοι.
Σύγκλιση της μεθόδου του Newton για συστήμα γραμμικών εξισώσεων.
Δεν έγινε μάθημα λόγω της αργίας του Πολυτεχνείου.
Γενικές επαναληπτικές μέθοδοι για συστήματα μη γραμμικών εξισώσεων.
Η παράγωγος Frechet. Ολοκληρωτικές μορφές του θεωρήματος μέσης τιμής.
Η τροποποιημένη μέθοδος του Newton και η μέθοδος της τέμνουσας. Θεωρήματα σύγκλισης.
Σύγκλιση της μεθόδου του Newton.
Μη γραμμικές εξισώσεις. Το θεώρημα σταθερού σημείου του Brouwer. Το θεώρημα της συστολής. Η μέθοδος του Newton.
Η πλήρης ανάλυση QR. Ο ψευδο-αντίστροφος. Μια παρατήρηση για τους μετασχηματισμούς Householder για μιγαδικά διανύσματα.
Mετασχηματισμοί Householder (συνέχεια).
Η ανάλυση QR. Υπολογισμός με χρήση μετασχηματισμών Householder.
Το πρόβλημα ελαχίστων τετραγώνων (συνέχεια).
Το πρόβλημα ελαχίστων τετραγώνων. Το σύστημα των κανονικών εξισώσεων. Ικανές και αναγκαίες συνθήκες για ύπαρξη λύσης του συστήματος των κανονικών εξισώσεων.
Η ανάλυση SVD (συνέχεια).
Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα. Η ανάλυση SVD.
Έννοιες από την αριθμητική γραμμική άλγεβρα (συνέχεια). Νόρμες πινάκων.
Πρώτη διάλεξη. Διαδικαστικά και το πλάνο του μαθήματος. Έννοιες από την αριθμητική γραμμική άλγεβρα.